Question

（2012•增城市模擬）已知點A（-1，0），B（1，0），直線AM，BM相交于點M，且直線BM的斜率與直線AM的斜率的差為1．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）若過點F（0，0）作直線交軌跡C于P，Q兩點，證明以PQ為直徑的圓與直線l：y=-1相切．

Answer 1

分析：（1）設(shè)M（x，y），利用直線BM的斜率與直線AM的斜率的差為1，建立方程，即可求得點M的軌跡C的方程；
（2）F（0，0）是拋物線的焦點，直線l：y=-1是拋物線的準線，取PQ的中點N，過P，Q，N分別作直線l的垂線，垂足分別為P₁，Q₁，N₁，證明|NN1|=

1

2

(|PP1|+|QQ1|)=

1

2

|PQ|即可．

解答：（1）解：設(shè)M（x，y），則kAM=

y

x+1

，kBM=

y

x-1

（2分）
∵直線BM的斜率與直線AM的斜率的差為1
∴

y

x-1

-

y

x+1

=1（3分）
∴x2=2(y+

1

2

)(y≠0)（5分）
（2）證明：∵P=1，∴F（0，0）是拋物線的焦點，直線l：y=-1是拋物線的準線，（6分）
取PQ的中點N，過P，Q，N分別作直線l的垂線，垂足分別為P₁，Q₁，N₁（7分）
則|PF|=|PP₁|，|QF|=|QQ₁|（9分）
∴|PQ|=|PP₁|+|QQ₁|（10分）
∵N為PQ的中點，且NN₁∥PP₁∥QQ₁，|NN1|=

1

2

(|PP1|+|QQ1|)=

1

2

|PQ|（11分）
所以以PQ為直徑的圓與直線l：y=-1相切．（12分）

點評：本題考查軌跡方程的求法，考查拋物線的定義，考查直線與圓的位置關(guān)系，正確運用拋物線的定義是關(guān)鍵．