已知函數(shù)f（log4x）=log4（x+1）+klog4x（k∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）為偶函數(shù)，求實數(shù)k的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若函數(shù)g(x)=log4m-f(x)+
3
2
x在（0，+∞）上存在零點，求實數(shù)m的取值范圍．
（Ⅰ）令t=log4x，則有x=4t，f（t）=log4(4t+1)+kt，故函數(shù)f（x）的解析式為 f（x）=log4(4x+1)+kx．
（Ⅱ）若f（x）為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x） log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx，化簡可得-log44x=2kx，
即（ 2k+1）x=0，∴k=-
1
2
．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，f（x）=log4(4x+1)-
1
2
x，
函數(shù)g(x)=log4m-f(x)+
3
2
x=log4m-log4(4x+1)+2x 在（0，+∞）上存在零點，
故有 log4m=log4(4x+1)-2x=log4
4x+1
42x
=log4(
1
4x
+
1
42x
)．
令
1
4x
=t，則 1＞t＞0，log4m=log4(t+t2)．
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得 0＜t2+t＜2，
∴0＜m＜2，故實數(shù)m的取值范圍為（0，2）．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)為偶函數(shù)．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若方程f(x)=log4(a•2x-a)有且只有一個根，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)為偶函數(shù)．
（Ⅰ） 求k的值；
（Ⅱ） 若方程f(x)=log4(a•2x-a)有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列四個命題：
①如果命題“?p”與命題“p或q”都是真命題，那么命題q一定是真命題；
②已知向量
a
，
b
滿足|
a
|=1，|
b
|=4，且
a
•
b
=2，則
a
與
b
的夾角為
π
6
；
③若函數(shù)f（x+1）是奇函數(shù)，f（x-1）是偶函數(shù)，且f（0）=2，則f（2012）=2；
④已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函數(shù)，函數(shù)g(x)=log4(a•2x-
4
3
a)，若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象有且只有一個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）．
其中正確命題的序號為
①
①
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）定理：函數(shù)g(x)=ax+
b
x
（a、b是正常數(shù)）在區(qū)間(0，
b
a
)上為減函數(shù)，在區(qū)間(
b
a
，+∞)上為增函數(shù)．參考該定理，解決下面問題：是否存在實數(shù)m同時滿足以下兩個條件：①不等式f(x)-
m
2
＞0恒成立；②方程f（x）-m=0有解．若存在，試求出實數(shù)m的取值范圍，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=log4(2x+3-x2)，
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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