Question

如圖，銳角△ABC的內(nèi)心為D，過點A作直線BD的垂線，垂足為F，點E為內(nèi)切圓D與邊AC的切點．若∠C=50°，求∠DEF的度數(shù)．

Answer 1

分析：根據(jù)切線的性質(zhì)，結(jié)合題意證出∠AED=∠AFD=90°，因此A、D、F、E四點共圓，得到∠DEF=∠DAF．由點D是△ABC的內(nèi)心，可得∠DAB=

1

2

∠BAC且∠DBA=

1

2

∠ABC，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理證出∠DAB+∠DBA=

1

2

（180°-∠C）=65°，進而得到∠ADF=65°．最后在Rt△ADF中算出∠DAF=90°-∠ADF=25°，可得∠DEF=25°．

解答：解：∵⊙D切AC于點E，∴DE⊥AC，得∠AED=90°，
又∵AF⊥DF，可得∠AFD=90°，
∴∠AED=∠AFD=90°，
因此，A、D、F、E四點共圓，在此圓中∠DEF與∠DAF對同弧，
∴∠DEF=∠DAF．
∵銳角△ABC的內(nèi)心為D，
∴AD、BD分別是∠BAC、∠ABC的平分線，可得∠DAB=

1

2

∠BAC，∠DBA=

1

2

∠ABC，
因此，∠DAB+∠DBA=

1

2

（∠BAC+∠ABC）=

1

2

（180°-∠C）=

1

2

（180°-50°）=65°．
∵∠ADF為△ABD的外角，∴∠ADF=∠DAB+∠DBA=65°，
Rt△ADF中，∠DAF=90°-∠ADF=25°，可得∠DEF=∠DAF=25°．

點評：本題給出△ABC的內(nèi)切圓，求∠DEF的度數(shù)．著重考查了三角形內(nèi)角和定理、切線的性質(zhì)定理、四點共圓的判定和三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)等知識，屬于中檔題．