Question

給定橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），若橢圓C的一個焦點為F（

2

，0），其短軸上的一個端點到F的距離為

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，點Q滿足

AQ

=

QB

且

NQ

•

AB

=0，其中N為橢圓的下頂點，求直線在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓C的一個焦點為F（

2

，0），其短軸上的一個端點到F的距離為

3

，求出幾何量，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+t．代入橢圓方程，消去y得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0．由△＞0，知t²＜1+3k²，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則則x₁+x₂=-

6kt

1+3k2

，x₁x₂=

3k2-3

1+3k2

，再結(jié)合

AQ

=

QB

且

NQ

•

AB

=0，即可求出截距t的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C的一個焦點為F（

2

，0），其短軸上的一個端點到F的距離為

3

．
∴c=

2

，a=

3

，
∴b=1，
∴橢圓C的方程

x2

3

+y2=1；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+t．
代入橢圓方程，消去y得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0．
∵直線l與橢圓交于不同兩點A、B，
∴△=（6kt）²-4（1+3k²）（3t²-3）＞0，
即t²＜1+3k²①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

6kt

1+3k2

，x₁x₂=

3k2-3

1+3k2

．
由

AQ

=

QB

，得Q為線段AB的中點，
∴x_Q=

x1+x2

2

=-

3kt

1+3k2

，y_Q=

t

1+3k2

．
∵

NQ

•

AB

=0，
∴k_AB•k_QN=-1，即

t 1+3k2 +1

- 3kt 1+3k2

•k=-1．
化簡得1+3k²=2t，代入①得t²＜2t，解得0＜t＜2．
又由2t=1+3k²＞1，∴t＞

1

2

．
∴直線l在y軸上的截距t的取值范圍是（

1

2

，2）．

點評：本題考查橢圓方程的求法和截距t的取值范圍．解題時要認真審題，利用橢圓性質(zhì)注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．