Question

如圖所示,某市現(xiàn)有自市中心O通往正西和東北方向的兩條主要公路.為了解決該市交通擁擠問題,市政府決定修建一條環(huán)城公路,分別在通往正西和東北方向的公路上任取A、B兩點(diǎn),使環(huán)城公路在A、B間為直線段.要求AB路段與市中心O的距離為10 km,且使A、B間的距離|AB|最小,請你確定A、B兩點(diǎn)的最佳位置(不要求作近似計算).

Answer 1

思路分析:通過|OA|與|OB|建立|AB|的函數(shù)關(guān)系式,再通過不等式知識求解.

解:令|OA|=a km,|OB|=b km,

    且在△AOB中,∠AOB=135°,

∴·|0|·|AB|=absin135°.

∴|AB|=.                                                                                  ①

    又由余弦定理得

|AB|=≥=,      ②

    當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.

    由①②知≥(2+)ab.

∵ab＞0,∴ab≥200(2+),                                                               ③

    將③代入①,得|AB|=≥20(+1).

    當(dāng)a=b時,|AB|取得最小值,

    而當(dāng)a=b時,△AOB為等腰三角形,

∴∠OAB=∠OBA=.

∴a=b==10.

∴A、B兩點(diǎn)的最佳位置是距市中心O均為10 km處.