Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3a²x+1
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知a＞0，若?x∈[1，2]，f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）將a=1代入，求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)后，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若?x∈[1，2]，f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．則?x∈[1，2]，恒有，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求出其最小值，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x³-3x+1
f'（x）=3x²-3
由f'（x）＞0得x＜-1或x＞1，
由f'（x）＜0得-1＜x＜1
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，1）
（2）由題?x∈[1，2]，恒有x³-3a^2x+1≥0⇒?x∈[1，2]，恒有
令，
當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，h'（x）＞0
∴h（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=h（1）=2
故3a²≤2
又a＞0
∴
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握導(dǎo)函數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間和最值的方法和步驟是解答的關(guān)鍵．