Question

9．設(shè)橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，圓x²+y²=$\frac{4}{5}$與直線$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$相切，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）已知定點(diǎn)Q（t，0）（t＞0），斜率為1的直線l過(guò)點(diǎn)Q且與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)C，D，若$\overrightarrow{ON}$=cosθ•$\overrightarrow{OC}$+sinθ•$\overrightarrow{OD}$，且對(duì)于任意θ∈[0，2π）總有點(diǎn)N在橢圓E上，求滿足條件的實(shí)數(shù)t的值．

Answer 1

分析 （1）由圓x²+y²=$\frac{4}{5}$與直線$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$相切，可得$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，化為5a²b²=4（a²+b²）．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{5{a}^{2}^{2}=4（{a}^{2}+^{2}）}\end{array}\right.$，解得即可；
（2）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），N（x₀，y₀）．可得${x}_{1}^{2}+4{y}_{1}^{2}$=4，${x}_{2}^{2}+4{y}_{2}^{2}$=4．直線l的方程為：y=x-t，與橢圓方程聯(lián)立化為5x²-8tx+4t²-4=0．△＞0，由$\overrightarrow{ON}$=cosθ•$\overrightarrow{OC}$+sinθ•$\overrightarrow{OD}$，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算及相等、根與系數(shù)的關(guān)系可得：x₀=x₁cosθ+x₂sinθ，y₀=y₁cosθ+y₂sinθ．代入橢圓方程可得：x₁x₂+4y₁y₂=0，把根與系數(shù)的關(guān)系代入解出即可．

解答 解：（1）∵圓x²+y²=$\frac{4}{5}$與直線$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$相切，
∴$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，化為5a²b²=4（a²+b²）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{5{a}^{2}^{2}=4（{a}^{2}+^{2}）}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$．
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），N（x₀，y₀）．
則${x}_{1}^{2}+4{y}_{1}^{2}$=4，${x}_{2}^{2}+4{y}_{2}^{2}$=4．
直線l的方程為：y=x-t，與橢圓方程聯(lián)立可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x-t}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
化為5x²-8tx+4t²-4=0．
△=64t²-20（4t²-4）＞0，解得$-\sqrt{5}$＜t$＜\sqrt{5}$．
∴x₁+x₂=$\frac{8t}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{t}^{2}-4}{5}$．
∵$\overrightarrow{ON}$=cosθ•$\overrightarrow{OC}$+sinθ•$\overrightarrow{OD}$，
∴（x₀，y₀）=（x₁cosθ+x₂sinθ，y₁cosθ+y₂sinθ），
∴x₀=x₁cosθ+x₂sinθ，y₀=y₁cosθ+y₂sinθ．
∵對(duì)于任意θ∈[0，2π）總有點(diǎn)N在橢圓E上，
代入橢圓方程可得：$（{x}_{1}cosθ+{x}_{2}sinθ）^{2}$+4$（{y}_{1}cosθ+{y}_{2}sinθ）^{2}$=4，
化為$（{x}_{1}^{2}+4{y}_{1}^{2}）co{s}^{2}θ$+$（{x}_{2}^{2}+4{y}_{2}^{2}）si{n}^{2}θ$+（2x₁x₂+8y₁y₂）cosθsinθ=4，
∴x₁x₂+4y₁y₂=0，
∴x₁x₂+4（x₁-t）（x₂-t）=0，
化為5x₁x₂-4t（x₁+x₂）+4t²=0．
∴$5×\frac{4{t}^{2}-4}{5}$-$\frac{32{t}^{2}}{5}$+4t²=0．
化為t²=$\frac{5}{2}$，（t＞0）．
解得t=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
滿足△＞0．
∴滿足條件的實(shí)數(shù)t=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、直線與圓相切性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、點(diǎn)與橢圓的關(guān)系、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．