Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²-3（2a+1）x-3，x∈R，a是常數(shù)．
（1）若a=

1

2

，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-3，3）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）若?x＞-1，f′（x）＞-3恒成立，試證明a＜0．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=3x²-3x-6，求得函數(shù)的極值，根據(jù)零點(diǎn)定理及函數(shù)的單調(diào)性，從而可得f（x）在區(qū)間（-3，-1）、（-1，2）上各有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間（2，3）上沒有零點(diǎn)；
（2）問題等價(jià)于?x＞-1，x²-2ax-2a＞0恒成立，再用分離參數(shù)得a＜

x2

2(x+1)

，利用基本不等式可求f(x)=

x2

2(x+1)

的最值．

解答：解：（1）a=

1

2

，f(x)=x3-

3

2

x2-6x-3，f′（x）=3x²-3x-6…（1分），
解f′（x）=0得x₁=-1，x₂=2…（2分），

x	[-3，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，3]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

…（4分）
f(-3)=-

51

2

，f(-1)=

1

2

，f（2）=-13，f(3)=-

15

2

…（5分），
因?yàn)閒（-3）f（-1）＜0、f（-1）f（2）＜0、f（2）f（3）＞0，根據(jù)零點(diǎn)定理及函數(shù)的單調(diào)性，f（x）在區(qū)間（-3，-1）、（-1，2）上各有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間（2，3）上沒有零點(diǎn)，…（6分），即f（x）在區(qū)間（-3，3）上共有兩個(gè)零點(diǎn)…（7分）．
（2）f′（x）=3x²-6ax-3（2a+1）…（8分），由f′（x）＞-3即3x²-6ax-3（2a+1）＞-3得?x＞-1，x²-2ax-2a＞0恒成立…（10分），因?yàn)閤＞-1，x+1＞0，所以a＜

x2

2(x+1)

…（11分），
設(shè)f(x)=

x2

2(x+1)

，則f(x)=

x2

2(x+1)

=

1

2

[(x+1)+

1

x+1

]-1≥0，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)成立…（13分），
所以a＜0…（14分）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值及函數(shù)零點(diǎn)的求解，恒成立問題利用分離參數(shù)法求解．