Question

如圖，四棱錐S-ABCD中，平面SAC與底面ABCD垂直，側棱SA、SB、SC與底面ABCD所成的角均為45°，AD∥BC，且AB=BC=2AD．
（1）求證：四邊形ABCD是直角梯形；
（2）求異面直線SB與CD所成角的大�。�
（3）求直線AC與平面SAB所成角的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）過S作SO⊥AC于O，由平面和平面垂直的性質定理，得出SO⊥平面ABCD，繼而側棱SA、SB、SC與底面ABCD所成的角均為45°得出AO=BO=CO=SO，從而∠ABC=90°，根據梯形定義即可證明．
（2）建立空間坐標系如圖，使Ox⊥AB，Oy⊥BC，設AD=a，利用夾角求解．
（3）求出平面SAB的一個法向量，求出此法向量與夾角，再求線AC與平面SAB所成的角的大小．
解答：解：（1）過S作SO⊥AC于O，
∵平面SAC⊥平面ABCD，平面SAC∩平面ABCD=AC，
由平面和平面垂直的性質定理，得SO⊥平面ABCD，
∵側棱SA、SB、SC與底面ABCD所成的角均為45°
∴△SOA，△SOB，△SOC，△SOD為全等的等腰直角三角形，
∴AO=BO=CO=SO，
∴∠ABC=90°，即有
又AB=BC=2AD，AD∥BC，
所以四邊形ABCD是直角梯形．
（2）建立空間坐標系如圖，使Ox⊥AB，Oy⊥BC
設AD=a，則
∴直線SB與CD所成角的大小為
（3）設平面SAB的法向量為
∵=（0，2a，0），=（a，a，-a）．
由得，
取z=1，則=（，0，1），又=（-2a，2a，0），
∴cos＜＞=
∴AC與平面SAB所成的角的大小arcsin．
點評：本題考查空間直線、平面位置關系的判斷，二面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計算、轉化能力．利用向量這一工具，解決空間幾何體問題，能夠降低思維難度．