Question

已知平面內(nèi)兩定點F1(0，-

5

)、F2(0，

5

)，動點P滿足條件：|

PF1

|-|

PF2

|=4，設(shè)點P的軌跡是曲線E，O為坐標(biāo)原點．
（I）求曲線E的方程；
（II）若直線y=k（x+1）與曲線E相交于兩不同點Q、R，求

OQ

•

OR

的取值范圍；
（III）（文科做）設(shè)A、B兩點分別在直線y=±2x上，若

AP

=λ

PB

(λ∈[

1

2

，3])，記x_A、x_B分別為A、B兩點的橫坐標(biāo)，求|x_A•x_B|的最小值．
（理科做）設(shè)A、B兩點分別在直線y=±2x上，若

AP

=λ

PB

(λ∈[

1

2

，3])，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

（I）由題意，可知動點P的軌跡是焦點在y軸上的雙曲線的上半支，
其中c=

5

，2a=4，
∴b=1，
∴曲線E的方程是

y2

4

-x2=1(y≥2)．
（II）設(shè)Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），（y₁，y₂＞0），
由

y2 4 -x2=1 y=k(x+1)

，得(1-

4

k2

)y2+

8

k

y-8=0，
當(dāng)1-

4

k2

=0，即k=±2時，顯然不符合題意，
∴1-

4

k2

≠0．
∴

△=32- 64 k2 ＞0 y1+y1= 8k 4-k2 ＞0 y1•y2= 8k2 4-k2 ＞0

，
解得

2

＜k＜2．
∵x1•x2=

y1•y2

k2

-

y1+y2

k

+1=1，
∴

OQ

•

OR

=x1x2+y1y2
=1+

8k2

4-k2

=1-

8(k2-4)+32

k2-4

=-7+

32

4-k2

．
∵

2

＜k＜2，
∴0＜4-k²＜2，
∴

1

4-k2

＞

1

2

，
∴

OQ

•

OR

∈(9，+∞)．
（III）（文科做）∵曲線E的方程是

y2

4

-x2=1(y≥2)，
∴雙曲線的兩條漸近線方程為y=±2x．
∵

AP

=λ

PB

，且λ＞0，
∴點P必內(nèi)分線段AB，
故點A，B均在x軸上方，
不妨設(shè)x_A＞0，x_B＜0，
即A（x_A，2x_A），B（x_B，-2x_B），
由

AP

=λ

PB

，得P點的坐標(biāo)為（

xA+λxb

1+λ

，

2(xA-λxB)

1+λ

），
將P點坐標(biāo)代入

y2

4

-x2=1中，
化簡，得xA•xB=

(1+λ)2

-4λ

=-

1

4

(λ+

1

λ

+2)．
∴|xA•xB|=

1

4

(λ+

1

λ

+2)，λ∈[

1

3

，2]
∵λ+

1

λ

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)λ=1時，等號成立．
∴|x_A•x_B|_min=1．
（理科做））∵曲線E的方程是

y2

4

-x2=1(y≥2)，
∴雙曲線的兩條漸近線方程為y=±2x．
∵

AP

=λ

PB

，且λ＞0，
∴點P必內(nèi)分線段AB，
故點A，B均在x軸上方，
設(shè)A（m，2m），B（-n，2n），m＞0．n＞0．
由

AP

=λ

PB

，得點P的坐標(biāo)為（

m-λn

1+λ

，

2(m+λn)

1+λ

）．
將點P的從標(biāo)代入

y2

4

-x2=1中，
化簡，得mn=

(1+λ)2

4λ

．
設(shè)∠AOB=2θ，
∵tan(

π

2

-θ)=2，
∴tanθ=

1

2

，sin2θ=

4

5

，
∵|OA|=

5

m，|OB|=

5

n，
∴S△AOB=

1

2

|OA|•|OB|•sin2θ
=2mn
=

1

2

(λ+

1

λ

)+1．
∵λ∈[

1

3

，2]，
∴λ+

1

λ

∈[2，

10

3

]，
∴S△AOB∈ [2，

8

3

]．
∴△ABC面積的最大值為

8

3

．