Question

【題目】如圖，在四棱錐中， 底面，底面為直角梯形， ， ， ， 為的中點(diǎn)，平面交于點(diǎn).

（1）求證： ；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析 （2）二面角的余弦值

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)等腰三角形和已知推導(dǎo)出，從而，再由，得平面，由此證明；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)， 為軸， 為軸， 為軸，建立空間直角坐標(biāo)系分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式能求二面角的余弦值.

試題解析：證明：（1）因?yàn)?/span>， 分別為， 的中點(diǎn)， ，所以.

因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)?/span>底面，所以.

因?yàn)?/span>，所以平面.

所以.

因?yàn)?/span>，所以平面

因?yàn)?/span>平面，所以.

（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.

則， ， ， ， .

由（1）可知， 平面，

所以平面的法向量為.

設(shè)平面的法向量為

因?yàn)?/span>， ，

所以即

令，則， ，

所以，所以

所以二面角的余弦值.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用空間向量求二面角、線面垂直的判定及性質(zhì)，屬于難題.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.