Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為（），為上一點(diǎn)，以為邊作等邊三角形，且、、三點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列.

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）若曲線： ，經(jīng)過伸縮變換得到曲線，試判斷點(diǎn)的軌跡與曲線是否有交點(diǎn)，如果有，請(qǐng)求出交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，沒有則說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）．

【解析】試題分析：考慮到 則點(diǎn)的極坐標(biāo)可以表示為將點(diǎn)代入直線的極坐標(biāo)方程中得到關(guān)于的方程即為點(diǎn)的極坐標(biāo)方程，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的直角坐標(biāo)方程.（2）將曲線的普通方程與直線普通方程聯(lián)立 故必有兩個(gè)交點(diǎn).

試題解析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則由題意可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

再由點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于， ，

可得，

可得，

故當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo)方程為．

（Ⅱ)曲線： ，

，即，代入，即，

聯(lián)立點(diǎn)的軌跡方程，消去得，

有交點(diǎn)，坐標(biāo)分別為．