Question

 

（本小題15分）

設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，并且滿足，（n∈N*）.

（Ⅰ）求，，；

（Ⅱ）猜想{}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；

（Ⅲ）設(shè)，，且，證明：≤.

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）分別令，2，3，得

       ∵，∴，，.

   （Ⅱ）證法一：猜想：，由            ①

        可知，當(dāng)≥2時(shí)，   ②

        ①-②，得  ，即.

        1）當(dāng)時(shí)，，∵，∴；

        2）假設(shè)當(dāng)（≥2）時(shí)，.

          那么當(dāng)時(shí)，

              ，

              ∵，≥2，∴，

              ∴.

          這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)也成立，

          ∴（≥2）.  顯然時(shí)，也適合.

         故對(duì)于n∈N*，均有

（Ⅲ）要證≤，

     只要證≤，

     即≤，

 將代入，得≤，w.w.w.k.s.5 u.c.o.m

即要證≤，即≤1.

∵，，且，∴≤,

即≤，故≤1成立，所以原不等式成立.

 

【解析】略