Question

定義在R上的函數(shù)及二次函數(shù)滿足：且.

（1）求和的解析式；

（2）對于，均有成立，求的取值范圍；

（3）設(shè)，討論方程的解的個數(shù)情況．

 

Answer 1

（1），；（2）的取值范圍為；（3）有5個解.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)已知的函數(shù)方程，可以得到，聯(lián)立已知條件的函數(shù)方程，即可解得，又由條件二次函數(shù)及，可設(shè)，再根據(jù)，可求得；（2）問題等價于求使，恒成立的的取值范圍，即求當(dāng)，

使成立的的取值范圍，通過判斷的單調(diào)性可知，其在上單調(diào)遞增，因此只需，由（1）求得的二次函數(shù)的解析式，可得只需，即的取值范圍為；（3）根據(jù)條件及（1），（2）所求得的解析式，可畫出的示意圖，根據(jù)示意圖，可以得到方程即等價于或，再從示意圖上可得：有2個解, 有個解，因此有個解.

試題解析：（1） ,①

即②

由①②聯(lián)立解得:. 2分，

是二次函數(shù), 且,可設(shè),

由,解得.∴，

∴， 5分；

（2）設(shè),

,

依題意知:當(dāng)時,

,在上單調(diào)遞減,

∴ 7分

∴在上單調(diào)遞增,，∴

∴解得:，

∴實數(shù)的取值范圍為. 10分；

由題意，可畫出的示意圖如圖所示:

令,則

∴，由示意圖可知：有2個解, 有個解.

∴有個解. 14分.

考點：1.函數(shù)解析式的求解；2.利用函數(shù)單調(diào)性求極值；3.方程根個數(shù)的判斷.