橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則橢圓的離心率為（　�。�
分析：根據(jù)題意，橢圓短軸的端點(diǎn)與其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形．以焦點(diǎn)在x軸的橢圓為例，設(shè)出方程并根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)建立關(guān)于a、b、c的等式，化簡并利用橢圓的性質(zhì)即可算出此橢圓的離心率．
解答：解：根據(jù)題意，橢圓短軸的端點(diǎn)與其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形
設(shè)橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）
可得橢圓的短軸的頂點(diǎn)為（0，±b），焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±c，0），其中c=
a2-b2

∵橢圓的短軸的端點(diǎn)與其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，
∴b=
3
c，可得
a2-c2
=
3
c，平方化簡得a=2c
因此該橢圓的離心率e=
c
a
=
1
2
點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，求橢圓的離心率．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、基本概念和簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

我們稱離心率e=
5
-1
2
的橢圓叫做“黃金橢圓”，若
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)為黃金橢圓，以下四個(gè)命題：
（1）長半軸長a，短半軸長b，半焦距c成等比數(shù)列．
（2）一個(gè)長軸頂點(diǎn)與其不同側(cè)的焦點(diǎn)以及一個(gè)短軸頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形．
（3）以兩條通經(jīng)的4個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形．
（4）P、Q為橢圓上任意兩點(diǎn)，M為PQ中點(diǎn)，只要PQ與OM的斜率存在，必有kPQ•kOM的定值．
其中正確命題的序號(hào)為
（1）（2）（3）（4）
（1）（2）（3）（4）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知離心率為
1
2
的橢圓C，其中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，該橢圓的一個(gè)短軸頂點(diǎn)與其兩焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)面積為4
3
的等腰三角形，則橢圓C的長軸長為（　　）
A、4
B、8
C、4
2
D、8
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

我們稱離心率數(shù)學(xué)公式的橢圓叫做“黃金橢圓”，若數(shù)學(xué)公式為黃金橢圓，以下四個(gè)命題：
（1）長半軸長a，短半軸長b，半焦距c成等比數(shù)列．
（2）一個(gè)長軸頂點(diǎn)與其不同側(cè)的焦點(diǎn)以及一個(gè)短軸頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形．
（3）以兩條通經(jīng)的4個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形．
（4）P、Q為橢圓上任意兩點(diǎn)，M為PQ中點(diǎn)，只要PQ與OM的斜率存在，必有kPQ•kOM的定值．
其中正確命題的序號(hào)為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

我們稱離心率e=
5
-1
2
的橢圓叫做“黃金橢圓”，若
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)為黃金橢圓，以下四個(gè)命題：
（1）長半軸長a，短半軸長b，半焦距c成等比數(shù)列．
（2）一個(gè)長軸頂點(diǎn)與其不同側(cè)的焦點(diǎn)以及一個(gè)短軸頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形．
（3）以兩條通經(jīng)的4個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形．
（4）P、Q為橢圓上任意兩點(diǎn)，M為PQ中點(diǎn)，只要PQ與OM的斜率存在，必有kPQ•kOM的定值．
其中正確命題的序號(hào)為______．

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