Question

3．數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{n}+_{n}}$，b_n+1=$\frac{{_{n}}^{2}}{{a}_{n}+_{n}}$，a₁=3，b₁=1．
（1）令C_n=a_n-b_n，求數(shù)列{C_n}的通項公式；
（2）記數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，求證：S_n＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）通過a_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{n}+_{n}}$與b_n+1=$\frac{{_{n}}^{2}}{{a}_{n}+_{n}}$作差可知a_n+1-b_n+1=a_n-b_n，進而可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知a_n-b_n=2，進而b_n+1=$\frac{{_{n}}^{2}}{2+{2b}_{n}}$，通過計算可知b_n+1＜$\frac{1}{3}$•b_n，計算即得結(jié)論．

解答 （1）解：∵a_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{n}+_{n}}$，b_n+1=$\frac{{_{n}}^{2}}{{a}_{n}+_{n}}$，
∴a_n+1-b_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{n}+_{n}}$-$\frac{{_{n}}^{2}}{{a}_{n}+_{n}}$
=$\frac{（{a}_{n}-_{n}）（{a}_{n}+_{n}）}{{a}_{n}+_{n}}$
=a_n-b_n，
即C_n+1=C_n，
又∵C₁=a₁-b₁=3-1=2，
∴C_n=2；
（2）證明：由（1）可知a_n-b_n=2，
∵b_n+1=$\frac{{_{n}}^{2}}{{a}_{n}+_{n}}$=$\frac{{_{n}}^{2}}{2+{2b}_{n}}$，
∴b₂=$\frac{1}{4}$，b₃=$\frac{1}{40}$，b₄=$\frac{1}{3280}$，
∴b_n+1＜$\frac{1}{3}$•b_n，
∴S_n＜1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$＜$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及求和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．