Question

如圖，點A，B是單位圓O上的兩點，點C是圓O與x軸正半軸的交點，將銳角α的終邊OA按逆時針方向旋轉(zhuǎn)

π

3

到OB．
（1）若A的坐標(biāo)為（

3

5

，

4

5

），求點B的橫坐標(biāo)；                          
（2）求|BC|的取值范圍．

Answer 1

考點：任意角的三角函數(shù)的定義,三角函數(shù)線

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用三角函數(shù)的定義可得cosα=

3

5

，sinα=

4

5

，∠COB=α+

π

3

，利用兩角和的余弦可求得cos（α+

π

3

）=

3-4 3

10

，從而可得點B的橫坐標(biāo)；
（2）先求|BC|²=2-2cos（α+

π

3

）的取值范圍，再開方即可求得|BC|的取值范圍．

解答： 解：（1）由于A的坐標(biāo)為（

3

5

，

4

5

），由三角函數(shù)的定義知，cosα=

3

5

，sinα=

4

5

…2分
又∠COB=α+

π

3

，
∴cos（α+

π

3

）=cosαcos

π

3

-sinαsin

π

3

=

3-4 3

10

…5分
∴點B的橫坐標(biāo)為

3-4 3

10

…6分
（2）|BC|²=2-2cos（α+

π

3

）…9分
∵0＜α＜

π

2

，故

π

3

＜α+

π

3

＜

5π

6

，
∴cos（α+

π

3

）∈（-

3

2

，-

1

2

），
∴|BC|²∈（1，2+

3

），
∴|BC|∈（1，

6 - 2

2

）…12分

點評：本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，突出考查兩角和的余弦與余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．