Question

(本小題滿分12分)

已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點(diǎn)．

（I）求橢圓的方程；

（II）直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)， 為原點(diǎn)，在、上分別存在異于點(diǎn)的點(diǎn)、，使得在以為直徑的圓外，求直線斜率的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（I）；（II）。

【解析】

試題分析：（I）依題意，可設(shè)橢圓的方程為．

由 

∵ 橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則，解得

∴ 橢圓的方程為…………………

（II）聯(lián)立方程組，消去整理得………………

∵ 直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴ ，解得  ①…………………

∵ 原點(diǎn)在以為直徑的圓外，

∴為銳角，即．

而、分別在、上且異于點(diǎn)，即………………

設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，

則

解得  ，                  ②…………………

綜合①②可知：…………………

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；直線與橢圓的綜合應(yīng)用。

點(diǎn)評(píng)：（1）有關(guān)直線與橢圓的綜合應(yīng)用，經(jīng)常用到的步驟為：設(shè)點(diǎn)→聯(lián)立方程→消元→韋達(dá)定理。（2）在第二問中，合理轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，即把“O在以MN為直徑的圓外”這個(gè)條件轉(zhuǎn)化為“”。