Question

有下列命題：
①函數y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的圖象中，相鄰兩個對稱中心的距離為π；
②函數y=

x+3

x-1

的圖象關于點（-1，1）對稱；
③關于x的方程ax²-2ax-1=0有且僅有一個實數根，則實數a=-1；
④已知命題p：對任意的x∈R，都有sinx≤1，則非p：存在x∈R，使得sinx＞1．
其中所有真命題的序號是（　�。�

A．①②

B．③④

C．②③④

D．①②④

Answer 1

分析：根據三角恒等變換公式化簡，結合正弦函數的圖象與性質可得①不正確；根據函數圖象平移公式，結合反比例函數為奇函數可得函數的對稱中心為（1，1），得②不正確；根據二次函數根的判別式，可得③正確；由全稱命題及其否定，可得④正確．由此可得本題的答案．

解答：解：∵函數y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）可化簡為y=

1

2

sin（2x+

π

2

）
∴函數y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的周期為T=

2π

2

=π，
可得相鄰兩個對稱中心的距離為半個周期即

π

2

，故①不正確；
∵函數y=

x+3

x-1

=1+

4

x-1

，
∴函數y=

x+3

x-1

的圖象，由y=

4

x

的圖象先向右平移1個單位、再向上平移1單位而得．
因此函數y=

x+3

x-1

的圖象關于點（1，1）對稱，得②不正確；
∵關于x的方程ax²-2ax-1=0有且僅有一個實數根，
∴方程為含有等根的一元二次方程，可得△=4a²+4a=0，得a=-1（舍去0），故③正確；
∵命題p：對任意的x∈R，都有sinx≤1，是一個全稱命題
∴根據含有量詞的命題否定，可得非p：存在x∈R，使得sinx＞1．故④正確．
綜上所述，真命題的序號是③④
故選：B

點評：本題以命題的真假判斷為載體，著重考查了三角函數的圖象與性質、函數的圖象的對稱性和一元二次方程根的判別式等知識，屬于基礎題．