在△ABC中，已知 A∶B = 1∶2，求證 a2 + a c = b2．

 

答案：
解析：

證法一：

由B = 2A，得 sinB = sin2A，即 sinB = 2 sinA cosA，

∴  ．

由正弦定理，；又由余弦定理有：

，即ab2 + ac2－a3－b2c = 0

因此，b2 ( a－c )－a ( a2－c2 ) = 0，即

．

若 a ≠ c，有 b2－a ( a + c ) = 0，則 a2 + ac = b2 ．

若 a = c，則A = C，A∶B∶C = 1∶2∶1，

∴ B = 90º，則此時△ABC為等腰直角三角形，仍有 b2 = a2 + ac ．

證法二：

由B = 2A，得C = π－ ( A + B ) = π－3A ．

由正弦定理，得

．

 


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．

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