Question

（2007•溫州一模）已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁（如圖），若AB=BC=3，AA₁=6，且AB⊥BC．
（Ⅰ）求點B到平面AA₁C₁C的距離；
（Ⅱ）設(shè)D為BB₁中點，求平面A₁CD與底面A₁B₁C₁所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）過B作BH⊥AC于H，根據(jù)面ABC⊥面AA₁C₁C，可知BH⊥面AA₁C₁C，從而BH為點B到平面AA₁C₁C的距離，故可求；
（2）以B₁點為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，分別求出半平面的法向量，進(jìn)而利用夾角公式可求．

解答：解：（1）過B作BH⊥AC于H，
在直三棱柱中，面ABC⊥面AA₁C₁C
∴BH⊥面AA₁C₁C，即BH為點B到平面AA₁C₁C的距離；
∵AB⊥BC，AB=BC=3，
∴AC=3

2

，
利用等面積可得BH=

3 2

2

∴點B到平面AA₁C₁C的距離等于

3 2

2

  

（2）以B₁點為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A₁（3，0，0），C（0.3.6）．D（0，0，3）；

A1C

=(-3，3，6)，

A1D

=(-3，0，3)
設(shè)面A₁DC的法向量為

n1

=(x，y，z)
則

n1 • A1C =-3x+3y+6z=0 n1 • A1D =-3x+3z=0

，∴

n1

=(1，-1，1)
又面A₁B₁C₁的一個法向量為

BB1

=(0.0，6)
∴cos＜

n1

，

BB1

＞=

3

3

，
∴平面A₁CD與底面A₁B₁C₁所成二面角的余弦值

3

3

．

點評：本題以直三棱柱為載體，考查點面距離，考查面面角，關(guān)鍵是空間直角坐標(biāo)系的建立．