Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求異面直線A₁D與BC₁所成的角；
（2）求證：平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD．

Answer 1

解：（1）將A₁D平移到B₁C，
則B₁C與BC₁所成的角即為異面直線A₁D與BC₁所成的角，
而B₁C⊥BC₁
∴異面直線A₁D與BC₁所成的角為90°；
（2）∵正方體中AA₁⊥平面ABCD
∴BD⊥AC，BD⊥A₁A，AC∩A₁A=A
∴BD⊥平面ACC₁A₁
而BD?平面A₁BD
∴平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD．
分析：（1）將A₁D平移到B₁C，根據(jù)異面直線所成角的定義可知B₁C與BC₁所成的角即為異面直線A₁D與BC₁所成的角，從而即可求出所求；
（2）欲證平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面A₁BD內(nèi)一直線與平面ACC₁A₁垂直，而根據(jù)線面垂直的判定定理可得BD⊥平面ACC₁A₁．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，考查面面垂直的判定及異面直線所成的角的計(jì)算，考查識(shí)圖能力和邏輯思維能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．