如圖1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=數(shù)學(xué)公式，D是AP的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別為PC、PD、CB的中點(diǎn)，將△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD，如圖2．
（Ⅰ）求三棱椎D-PAB的體積；
（Ⅱ） 求證：AP∥平面EFG；
（Ⅲ）求二面角G-EF-D的大�。�

解：（Ⅰ）．
（Ⅱ）證明：如圖以D為原點(diǎn)，以為方向向量建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．
則有關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)為：
設(shè)平面EFG的法向量為∴．取．
∵，∴，
又AP?平面EFG．∴AP∥平面EFG
（Ⅲ）由已知底面ABCD是正方形∴AD⊥DC，又∵PD⊥面ABCD∴AD⊥PD
又PD∩CD=D∴AD⊥平面PCD，∴向量是平面PCD的一個(gè)法向量，=（2，0，0）
平面EFG的法向量為∴．
結(jié)合圖知二面角G-EF-D的平面角為450．
分析：（I）根據(jù)要求的三棱錐的體積與已知底面和高的三棱錐的體積相等，寫出體積的表示式，得到結(jié)果．
（II）建立坐標(biāo)系，寫出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而寫出向量，設(shè)出平面的法向量，求出法向量，根據(jù)法向量與直線的方向向量垂直，得到線面平行．
（III）兩個(gè)平面的法向量一個(gè)已經(jīng)求出，另一個(gè)在圖形中存在，這樣根據(jù)兩個(gè)平面的法向量所成的角，得到兩個(gè)平面的二面角．
點(diǎn)評：本題考查立體幾何的綜合題目，本題解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，把一些理論性的正明轉(zhuǎn)化成運(yùn)算，降低了題目的難度．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M為線段AB的中點(diǎn)．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖2所示．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角A-CD-M的余弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•肇慶二模）如圖1，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=45°，AE⊥BD．將△ABD沿對角線BD折起（圖2），記折起后點(diǎn)A的位置為P且使平面PBD⊥平面BCD．
（1）求三棱錐P-BCD的體積；
（2）求平面PBC與平面PCD所成二面角的平面角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•海淀區(qū)二模）如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4．把△DAC沿對角線AC折起到△PAC的位置，如圖2所示，使得點(diǎn)P在平面ABC上的正投影H恰好落在線段AC上，連接PB，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段PA，PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面EFH∥平面PBC；
（Ⅱ）求直線HE與平面PHB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在一點(diǎn)M，使得M到P，H，A，F(xiàn)四點(diǎn)的距離相等？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•韶關(guān)二模）如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=
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AB=2，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖2所示．
（1）求證：DA⊥BC；
（2）在CD上找一點(diǎn)F，使AD∥平面EFB；
（3）求點(diǎn)A到平面BCD的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，CD=6，AD=3，E為CD上一點(diǎn)，且DE=4，過E作EF∥AD交BC于F現(xiàn)將△CEF沿EF折起到△PEF，使∠PED=60°，如圖2．
（Ⅰ）求證：PE⊥平面ADP；
（Ⅱ）求異面直線BD與PF所成角的余弦值；
（Ⅲ）在線段PF上是否存在一點(diǎn)M，使DM與平在ADP所成的角為30°？若存在，確定點(diǎn)M的位置；若不存在，請說明理由．

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