Question

設(shè)x∈R，f（x）=(

1

2

)|x|，若不等式f（x）+f（2x）≤k對于任意的x∈R恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是

k≥2

．

Answer 1

分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定原則，我們可以分析出函數(shù)f（x）和函數(shù)f（2x）的單調(diào)性，進而分析出函數(shù)F（x）=f（x）+f（2x）的單調(diào)性，進而求出F（x）=f（x）+f（2x）的最大值后，即可得到實數(shù)k的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=(

1

2

)|x|，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上為增函數(shù)，在區(qū)間[0，+∞）上為減函數(shù)，
且函數(shù)f（2x）在區(qū)間（-∞，0]上為增函數(shù)，在區(qū)間[0，+∞）上為減函數(shù)，
令F（x）=f（x）+f（2x），
根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可得F（x）=f（x）+f（2x）在區(qū)間（-∞，0]上為增函數(shù)，在區(qū)間[0，+∞）上為減函數(shù)，
故當x=0時，函數(shù)F（x）取最大值2，
若不等式f（x）+f（2x）≤k對于任意的x∈R恒成立，
則實數(shù)k的取值范圍是k≥2
故答案為：k≥2

點評：本題以不等式恒成立問題為載體考查了函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最值，其中構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）+f（2x），并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定原則，確定函數(shù)F（x）=f（x）+f（2x）的單調(diào)性及最值是解答的關(guān)鍵．