Question

已知函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-x²．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，k]（k＞0）上的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用

分析：（Ⅰ）求導數(shù)，利用導數(shù)的正負，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）分類討論，即可求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，k]（k＞0）上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由f′（x）=x（e^x-2）＞0，可得x＜0或x＞ln2，
∴函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，0），（ln2，+∞）；
由f′（x）=x（e^x-2）＜0，可得0＜x＜ln2，
∴函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為（0，ln2）；
（Ⅱ）∵f（0）=f（1）=-1，且f（x）在（0，ln2）上遞減，在（ln2，1）上遞增，
∴0＜k≤1時，f（x）_max=f（0）=-1，
k＞1時，f（x）_max=f（k）=（k-1）e^k-k²．

點評：本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，考查閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內所有極值與端點函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．