Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sinx-cosx(x∈[0，π]），
（1）當x為何值時，f（x）取得最大值，并求函數(shù)f（x）的值域；
（2）解不等式f（x）≥1．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和差的正弦公式化簡函數(shù)的解析式為y=2sin（x-

π

6

），根據x的范圍可得 x-

π

6

的范圍，從而求得函數(shù)f（x）最大值以及它的值域．
（2）由（1）可得，當x∈[0，π]時，f（x）≥1恒成立，由此求得不等式f（x）≥1在[0，π]上的解集．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=

3

sinx-cosx=2（

3

2

sinx-

1

2

cosx）=2sin（x-

π

6

），x∈[0，π]，
∴x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，故當 x-

π

6

=

π

2

時，即x=

2π

3

時，函數(shù)取得最大值為2．
再由當 x-

π

6

=-

π

6

時，函數(shù)取得最小值為1，故函數(shù)的值域為[1，2]．
（2）由（1）可得，當x∈[0，π]時，f（x）≥1恒成立，故不等式f（x）≥1在[0，π]上的解集為∈[0，π]．

點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式的應用，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．