Question

已知偶函數(shù)y=f（x）在x∈（0，+∞）上遞減，且f（x）＜0，試問(wèn)F（x）=

1

f(x)

在（-∞，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可．

解答： 證明：設(shè)任意的x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，則
∵偶函數(shù)y=f（x）在x∈（0，+∞）上遞減，且f（x）＜0，
∴函數(shù)y=f（x）在x∈（-∞，0）上遞增，且f（x）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，f（x₁）f（x₂）＞0，
∴F（x₁）-F（x₂）=

1

f(x1)

-

1

f(x2)

=

f(x2)-f(x1)

f(x1)f(x2)

＞0，即F（x₁）＞F（x₂），
∴F（x）=

1

f(x)

在（-∞，0）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法以及函數(shù)的奇偶性單調(diào)性性質(zhì)的熟練運(yùn)用，屬基礎(chǔ)題．