Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n•a_n+1=2•3^n-1，n=1，2，3…，a₁=1，
（1）求證：n≥2時，總有

an+1

an-1

=3；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n=

log3an ，  n為奇數(shù) an ，  n為偶數(shù)

，求{b_n}的前2n項和S_2n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由an•an+1=2•3n-1可得n≥2，an-1•an=2•3n-2，兩式相除可證
（2）由（1）中的結(jié)論知{a_n}的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別從小到大構(gòu)成公比為3的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可求a_2n-1，a_2n，進(jìn)而可求b_2n，b_2n-1，然后結(jié)合等差與等比數(shù)列的求和公式采用分組求和即可求解

解答： 證明：（1）由an•an+1=2•3n-1對一切正整數(shù)n都成立，得n≥2，an-1•an=2•3n-2
兩式相除可得n≥2，

an+1

an

=3…（6分）
解：（2）由（1）中的結(jié)論知{a_n}的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別從小到大構(gòu)成公比為3的等比數(shù)列，其中a2n-1=1•3n-1，a2n=2•3n-1
由已知有，b2n-1=log3a2n-1=n-1，b2n=a2n=2•3n-1
∴{b_n}的前2n項和S_2n=（b₁+b₃+…+b_2n-1）+（b₂+b₄+…+b_2n）
=（0+1+…+n-1）+2（3⁰+3¹+…+3^n-1）
=

0+n-1

2

×n+2•

1-3n

1-3

=

(n-1)n

2

+3n-1…（13分）

點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用及分組求和方法的應(yīng)用．