Question

已知函數(shù)在區(qū)間[m，n]上為增函數(shù)，且f(m)f(n)=-4。
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求m，n的值；
（2）當(dāng)f(n)-f(m)最小時(shí)，
①求a的值；
②若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（a＜x₁＜x₂＜n）是f(x)圖象上的兩點(diǎn)，且存在實(shí)數(shù)x₀使得，證明：x₁＜x₀＜x₂。

Answer 1

解：，
（1）當(dāng)a=3時(shí)，由，
得或x=2，
所以，f(x)在上為增函數(shù)，在，上為減函數(shù)，
由題意知，且。
因?yàn)椋?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20110608/201106081458002641199.gif" border=0>，
所以，，
可知。
（2）①因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20110608/201106081458002801629.gif" border=0>，
當(dāng)且僅當(dāng)f(n)=-f(m)=2時(shí)等號(hào)成立。
由，有，得；
由，有，得；
故f(n)-f(m)取得最小值時(shí)，a=0，n=1。
②此時(shí)，，， 
由知，，
欲證，先比較與的大小。
 
，
因?yàn)椋?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20110608/20110608145800452991.gif" border=0>，
所以，，有，
于是，
即，
另一方面，，
因?yàn)椋?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20110608/20110608145800717993.gif" border=0>，
所以，，
從而，，即，
同理可證；
因此，。