Question

（2013•醴陵市模擬）已知F₁、F₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上的一點(diǎn)，若∠F₁PF₂=90°，且△F₁PF₂的三邊長(zhǎng)成等差數(shù)列，則雙曲線的離心率是

5

．

Answer 1

分析：本題考查的是雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，要求出雙曲線的離心率，關(guān)鍵是要根據(jù)已知構(gòu)造一個(gè)關(guān)于離心率e，或是關(guān)于實(shí)半軸長(zhǎng)2a與焦距2C的方程，解方程即可求出離心率，注意到已知條件中，∠F₁PF₂=90°，且△F₁PF₂的三邊長(zhǎng)成等差數(shù)列，結(jié)合雙曲線的定義，我們不難得到想要的方程，進(jìn)而求出離心率．

解答：解：設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，
不妨設(shè)P在第一象限，
則由已知得

m-n=2a m2+n2=(2c)2 n+2c=2m

∴5a²-6ac+c²=0，
方程兩邊同除a²得：
即e²-6e+5=0，
解得e=5或e=1（舍去），
故答案為5．

點(diǎn)評(píng)：解題過(guò)程中，為了解答過(guò)程的簡(jiǎn)便，我們把未知|PF₁|設(shè)為m，|PF₂|設(shè)為n，這時(shí)要求離心率e，我們要找出a，c之間的關(guān)系，則至少需要三個(gè)方程，由已知中，若∠F₁PF₂=90°，且△F₁PF₂的三邊長(zhǎng)成等差數(shù)列，我們不難得到兩個(gè)方程，此時(shí)一定要注意雙曲線的定義，即P點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差為定值．