點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足(
OA
)•(
OB
)=(
OB
)•(
OC
)=(
OC
)•(
OA
)，則點(diǎn)O是△ABC的
 
心．
分析：由
OA
•
OB
=
OB
•
OC
得到 (
OB
)•(
CA
)=0，根據(jù)向量數(shù)量積為零可得OB⊥AC，同理得到OA⊥BC，所以點(diǎn)O是△ABC的三條高的交點(diǎn)，從而根據(jù)垂心的定義可得結(jié)論．
解答：解：(
OA
)•(
OB
)=(
OB
)•(
OC
)，
(
OB
)•(
OA
)-(
OB
)•(
OC
)=0，
即(
OB
)•(
OA
)-(
OC
)）=0，
(
OB
)•(
CA
)=0，
∴(
OB
)⊥(
CA
)．
同理可得(
OA
)⊥(
BC
)，(
OC
)⊥(
AB
)．
∴O是三角形三條高線的交點(diǎn)．
故答案為：垂
點(diǎn)評：本題考查向量的數(shù)量積及向量的運(yùn)算，對學(xué)生有一定的能力要求，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一動(dòng)點(diǎn)．
（1）證明：△PBC是直角三角形；
（2）若PA=AB=2，且當(dāng)直線PC與平面ABC所成角正切值為
2
時(shí)，直線AB與平面PBC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•貴州模擬）如圖，△ABC中，O是BC的中點(diǎn)，AB=AC，AO=2OC=2．將三角形BAO沿AO折起，使B點(diǎn)與圖中B1點(diǎn)重合，其中B1O⊥平面AOC．
（Ⅰ）求二面角A-B1C-O的大小；
（Ⅱ）在線段B1A上是否存在一點(diǎn)P，使CP與平面B1OA所成的角的正弦值為
23
？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•貴州模擬）如圖，△ABC中，O是BC的中點(diǎn)，AB=AC，AO=2OC=2．將三角形BAO沿AO折起，使B點(diǎn)與圖中B1點(diǎn)重合，其中B1O⊥平面AOC．
（Ⅰ）求二面角A-B1C-O的大小；
（Ⅱ）設(shè)P為線段B1A的中點(diǎn)，求CP與平面B1OA所成的角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，有一個(gè)三角形的遮陽棚△ABC，AC=3m，BC=4m，AB=5m，

A，B是安置在地面上南北方向的兩個(gè)定點(diǎn)，由正西方向的太

陽（用點(diǎn)O表示）射出的光線OCE與地面成30°的角，△ABE

為遮陽棚產(chǎn)生的陰影，當(dāng)遮陽棚與地面構(gòu)成60°的二面角時(shí)，

該遮陽棚所遮陰影△ABE的面積是______________

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年廣東省珠海市高三5月綜合測試（二）理科數(shù)學(xué)試題 題型：解答題

如圖（1），是直徑的圓上一點(diǎn)，為圓O的切線，為切點(diǎn)，為等邊三角形，連接交于，以為折痕將翻折到圖（2）所示的位置，點(diǎn)P為平面ABC外的點(diǎn)．

 

（1）求證：異面直線和互相垂直；

（2）若為上一點(diǎn)，且，，求三棱錐的體積．

 

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