已知向量
a
=(sinx，
3
2
)，
b
=（cosx，-1）．
（1）當
a
∥
b
時，求cos2x-sin2x的值；
（2）設x1，x2為函數(shù)f(x)=-
2
4
+(
a
+ 
b
)• 
b
的兩個零點，求|x1-x2|的最小值．
（1）由
a
∥
b
得：
3
2
cosx+sinx=0，
若cosx=0，則sinx=±1，不合題意．
則tanx=-
3
2
．
因此cos2x-sin2x=
cos2x-2sinxcosx
sin2x+cos2x
=
1-2tanx
tan2x+1
=
16
13
．

（2）f(x)=-
2
4
+(
a
+
b
)•
b
=(sinx+cosx，
1
2
)•(cosx，-1)-
2
4
=(sinx+cosx)cosx-
1
2
-
2
4
=
1
2
sin2x+
1
2
cos2x-
2
4
=
2
2
sin(2x+
π
4
)-
2
4
．
依題得sin(2x+
π
4
)=
1
2
，
解得x=k1π-
π
24
或x=k2π+
7π
24
，k1，k2∈Z．
又|x1-x2|=|k2π+
7π
24
-k1π+
π
24
|≥
π
3
，
所以|x1-x2|的最小值為
π
3
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達式．
（2）用“五點作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（4）設關于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點法”作出函數(shù)y=f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
⑤當x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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