Question

已知點(diǎn)C（1，0），點(diǎn)A，B是⊙O：x²+y²=9上任意兩個不同的點(diǎn)，且滿足，設(shè)P為弦AB的中點(diǎn)。

（1）求點(diǎn)P的軌跡T的方程；
（2）試探究在軌跡T上是否存在這樣的點(diǎn)：它到直線x=-1的距離恰好等于到點(diǎn)C的距離？若存在，求出這樣的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）連接CP，由知AC⊥BC，
∴
由垂徑定理知|OP|²+|AP|²=|OA|²，即|OP|²+|CP|²=9
設(shè)點(diǎn)P（x，y），有（x²+y²）+[（x-1）²+y²]=9，
化簡，得到x²-x+y²=4。
（2）根據(jù)拋物線的定義，到直線x=-1的距離等于
到點(diǎn)C（1，0）的距離的點(diǎn)都在拋物線y²=2px上，
其中，
∴p=2，故拋物線方程為y²=4x
由方程組
得x²+3x-4=0，
解得x₁=1，x₂=-4
由于x≥0，故取x=1，此時y=±2
故滿足條件的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為（1，-2）和（1，2）。