Question

如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，，，分別為的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證:平面平面;

（Ⅱ）求二面角的平面角的大小.

 

 

Answer 1

（Ⅰ）祥見(jiàn)解析；（Ⅱ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）欲證平面EFG∥平面PCD，可根據(jù)面面平行的判定定理進(jìn)行證明，即證明EG∥平面PCD，EF∥平面PCD；

（Ⅱ）�。臑樽鴺�(biāo)原點(diǎn)DC為x軸,DA為z軸建立空間直角坐標(biāo),應(yīng)用空間向量知識(shí)來(lái)求.也可取PC中點(diǎn)M，連接EM，DM，根據(jù)二面角的平面角的定義證明∠DEM就是二面角D-EF-B的平面角的補(bǔ)角，在△DEM中，即可求出二面角B-EF-D的平面角的大�。�

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720064138779550/SYS201411172006485911928566_DA/SYS201411172006485911928566_DA.002.png">分別為中點(diǎn),所以,

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720064138779550/SYS201411172006485911928566_DA/SYS201411172006485911928566_DA.005.png">是正方形,,所以,所以平面.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720064138779550/SYS201411172006485911928566_DA/SYS201411172006485911928566_DA.010.png">分別為中點(diǎn),所以,所以平面.

所以平面平面.

（Ⅱ）法1.易知,又,故平面

分別以為軸和軸,建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)

不妨設(shè)則,

所以

設(shè)是平面的法向量,則

所以取,即

設(shè)是平面的法向量,則

所以取

設(shè)二面角的平面角的大小為

所以,二面角的平面角的大小為.

法2.取中點(diǎn),聯(lián)結(jié)則,又平面,,所以平面,所以平面,所以,.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720064138779550/SYS201411172006485911928566_DA/SYS201411172006485911928566_DA.059.png">,則,所以 平面.

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720064138779550/SYS201411172006485911928566_DA/SYS201411172006485911928566_DA.063.png">,所以

所以就是二面角的平面角的補(bǔ)角.

不妨設(shè),則

,,.

所以二面角的平面角的大小為.

考點(diǎn)：１．平面與平面平行的判定；２．與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．