Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-mlnx．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若m≥1，試討論關(guān)于x的方程f（x）=x²-（m+1）x的解的個(gè)數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）令F（x）=f（x）-x²+（m+1）x=-$\frac{1}{2}$x²+（m+1）x-mlnx，x＞0，問題等價(jià)于求F（x）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過討論m的范圍，判斷即可．

解答 解：（1）依題意得，f′（x）=x-$\frac{m}{x}$=$\frac{{x}^{2}-m}{x}$，x∈（0，+∞），
當(dāng)m≤0時(shí)，f′（x）＞0，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）無極值；
當(dāng)m＞0時(shí)，f′（x）=$\frac{（x-\sqrt{m}）（x+\sqrt{m}）}{x}$，
令f′（x）＞0，得0＜x＜$\sqrt{m}$，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
令f′（x）＞0，得x＞$\sqrt{m}$，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
故函數(shù)f（x）有極小值f（$\sqrt{m}$）=$\frac{m}{2}$（1-lnm）；
綜上所述，當(dāng)m≤0時(shí)，函數(shù)f（x）無極值；
當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)f（x）有極小值$\frac{m}{2}$（1-lnm），無極大值．
（2）令F（x）=f（x）-x²+（m+1）x=-$\frac{1}{2}$x²+（m+1）x-mlnx，x＞0，
問題等價(jià)于求F（x）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，
易得F′（x）=-x+m+1-$\frac{m}{x}$=-$\frac{（x-1）（x-m）}{x}$，
①若m=1，則F′（x）≤0，函數(shù)F（x）為減函數(shù)，
注意到F（1）=$\frac{3}{2}$＞0，F(xiàn)（4）=-ln4＜0，所以F（x）有唯一零點(diǎn)；
②若m＞1，則當(dāng)0＜x＜1或x＞m時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，當(dāng)1＜x＜m時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，
所以函數(shù)F（x）（0，1）和（m，+∞）上單調(diào)遞減，在（1，m）上單調(diào)遞增，
注意到F（1）=m+$\frac{1}{2}$＞0，F(xiàn)（2m+2）=-mln（2m+2）＜0，所以F（x）有唯一零點(diǎn)；
綜上，若m≥1，函數(shù)F（x）有唯一零點(diǎn)，
即方程f（x）=x²-（m+1）x有唯一解．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的零點(diǎn)問題，是一道中檔題．