Question

已知數(shù)列{an}中a1=1，點(diǎn)(an，an+1)在函數(shù)y=3x+2的圖象上(n∈N*)．
（I）證明：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（I）由題意可得，a_n+1=3a_n+2，從而有a_n+1+1=3（a_n+1），可證
（II）由（I）可求，a_n+1，從而可求a_n，利用分組求和，結(jié)合等比與等差數(shù)列的求和公式即可求解

解答：證明：（I）由題意可得，a_n+1=3a_n+2
則a_n+1+1=3（a_n+1）且a₁+1=2
∴數(shù)列{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列
（II）由（I）可得，an+1=2•3n-1
∴an=2•3n-1-1
∴Sn=(2•30-1)+(2•3-1)+…+(2•3n-1-1)
=2（1+3+…+3^n-1）-n
=2•

1-3n

1-3

-n=3ⁿ-1-n

點(diǎn)評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求解通項(xiàng)公式，及數(shù)列的分組求和方法的應(yīng)用、等比數(shù)列及等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用