Question

17．已知A（0，2），B（1，$\sqrt{3}$），B′為點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)
（1）求△ABB′的外接圓方程
（2）過點(diǎn)$P（1，\sqrt{2}）$作△ABB′的外接圓的兩條互相垂直的弦AC，BD，求|AC|+|BD|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得 ${B^/}（-1，\sqrt{3}）$，設(shè)圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，將點(diǎn)A、A′、B的坐標(biāo)代入可得D、E、F的值，可得△ABB′的外接圓方程．
（2）設(shè)O到直線AC，BD的距離分別為m，n （m≥0，n≥0），則m²+n²=3，求得|AC|、|BD|再利用基本不等式求得|AC|+|BD|的最大值．

解答 解：（1）由題意可得 ${B^/}（-1，\sqrt{3}）$，設(shè)圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
將點(diǎn)A、A′、B的坐標(biāo)代入可得D=E=0，F(xiàn)=-4，
所以△ABB′的外接圓方程x²+y²=4．
（2）設(shè)O到直線AC，BD的距離分別為m，n （m≥0，n≥0），則m²+n²=3，
則$|{AC}|=2\sqrt{4-{m^2}}，|{BD}|=2\sqrt{4-{n^2}}$，所以$|{AC}|+|{BD}|=2\sqrt{4-{m^2}}+2\sqrt{4-{n^2}}$，
所以，（|AC|+|BD|）²=${（2\sqrt{4{-m}^{2}}+2\sqrt{4{-n}^{2}}）}^{2}$=20+8$\sqrt{4{+m}^{2}{•n}^{2}}$=4（5+2$\sqrt{4{+m}^{2}{•n}^{2}}$ ）．
因?yàn)閙²+n²=3≥2mn，所以${m^2}{n^2}≤\frac{9}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)${m^2}={n^2}=\frac{3}{2}$取等號(hào)，
∴$\sqrt{4{+m}^{2}{•n}^{2}}$≤$\frac{5}{2}$•（|AC|+|BD|）²=$\frac{5}{2}$•4（5+$\sqrt{4{+m}^{2}{•n}^{2}}$）≤$\frac{5}{2}$•4•（5+$\sqrt{4+\frac{9}{4}}$）=75，
即（|AC|+|BD|）²=≤30，∴|AC|+|BD|≤$\sqrt{30}$，
即|AC|+|BD|的最大值為 $\sqrt{30}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用待定系數(shù)法求三角形的外接圓方程，弦長公式、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．