Question

在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知bcosC=（2a-c）cosB．
（1）求角B的大小；
（2）若a，b，c成等比數(shù)列，試確定△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理把所給的式子轉(zhuǎn)化為含有角的式子，再由兩角和的正弦公式和內(nèi)角和定理進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出角B的余弦值，進(jìn)而求出B；
（2）由（1）的結(jié)果和余弦定理，求出邊之間的關(guān)系，進(jìn)而判斷出三角形的形狀．

解答：解：（1）∵bcosC=（2a-c）cosB
∴由正弦定理得，sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB，
sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，
sin（B+C）=2sinAcosB，
∵B+C=π-A，∴sin（B+C）=sinA，
∴cosB=

1

2

，則B=60°；
（2）∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b²=ac，
由（1）得，B=60°，
根據(jù)余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB，
∵b²=ac，∴ac=a²+c²-ac，即（a-c）²=0，
∴a=c，
故三角形是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)角邊相互轉(zhuǎn)化，是判斷三角形的形狀常采用的一種方法．