Question

已知α、β是銳角，α+β≠

π

2

，且滿足3sinβ=sin（2α+β）．
（1）求證：tan（α+β）=2tanα
（2）求tanβ的最大值，并求取得最大值時tanα的值．

Answer 1

分析：（1）把條件3sinβ=sin（2α+β）中的角都用所要證明的結論中的角表示為3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]；再利用兩角和與差的正弦公式展開，整理即可證明結論．
（2）先由（1）得tanβ=tan[（α+β）-α]=

tan(α+β)-tanα

1+tan(α+β)tanα

=

tanα

1+2(tanα)2

=

1

1 tanα +2tanα

，再利用基本不等式求出分母的最值；即可求出tanβ的最大值，并求出其取最大值時tanα的值．

解答：解：（1）證明：由3sinβ=sin（2α+β）得：
3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]
?3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα
?sin（α+β）cosα=2c0s（α+β）sinα
∵知α、β是銳角，α+β≠

π

2

，
∴

sin(α+β)cosα

cos(α+β)cosα

=

2cos(α+β)sinα

cos(α+β)cosα

?tan（α+β）=2tanα
（2）因為tanβ=tan[（α+β）-α]=

tan(α+β)-tanα

1+tan(α+β)tanα

=

tanα

1+2(tanα)2

=

1

1 tanα +2tanα

又因為α是銳角
所以

1

tanα

+2tanα≥2

1 tanα •2tanα

=2

2

，當且僅當

1

tanα

=2tanα時取等號，此時tanα=

2

2

．
故tanβ≤

1

2 2

=

2

4

．
所以：當tanα=

2

2

時，tanβ=

2

4

點評：在三角恒等式的證明中，一般都是把已知條件與所證結論相結合，即要看條件，又要分析條件和結論之間的關系．