Question

已知圓C：x²+y²+2x﹣4y+3=0．
（1）若圓C的切線(xiàn)在x軸和y軸上的截距相等，求此切線(xiàn)的方程；
（2）從圓C外一點(diǎn)P（x₁，y₁）向該圓引一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵切線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，
∴當(dāng)截距不為零時(shí)，設(shè)切線(xiàn)方程為x+y=a，
又∵圓C：（x+1）²+（y﹣2）²=2，
∴圓心C（﹣1，2）到切線(xiàn)的距離等于圓的半徑，
即，
解得：a=﹣1或a=3，
當(dāng)截距為零時(shí)，設(shè)y=kx，同理可得或，
則所求切線(xiàn)的方程為x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．
（2）∵切線(xiàn)PM與半徑CM垂直，
∴|PM|²=|PC|²﹣|CM|²．
∴（x₁+1）²+（y₁﹣2）²﹣2=x₁²+y₁²．
∴2x₁﹣4y₁+3=0．
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是直線(xiàn)2x﹣4y+3=0．
∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．
而|PO|的最小值為原點(diǎn)O到直線(xiàn)2x﹣4y+3=0的距離，
∴由，可得
故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為．