Question

填空題
（1）已知，則sin2x的值為________．
（2）已知定義在區(qū)間上的函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，f（x）=cosx，如果關(guān)于x的方程f（x）=a有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．

（3）設(shè)向量滿足，，，若，則的值是________．

Answer 1

解：（1）∵===2cos（+x），
∴cos（+x）=，∴sin2x=-cos（+2x）=-[2-1]=-（- ）=，
故答案為 ．
（2）依題意作出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，]上的簡(jiǎn)圖，當(dāng)直線y=a與函數(shù)y=f（x）的圖象有交點(diǎn)時(shí)，則可得-1≤a≤0．
①當(dāng)＜a≤0，f（x）=a有2個(gè)解，②當(dāng)時(shí)，f（x）=a有3個(gè)解，
③當(dāng)-1＜a時(shí)，f（x）=a有4個(gè)交點(diǎn)，④a=-1時(shí)，f（x）=a有2個(gè)交點(diǎn)，
故方程f（x）=a有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為，
故答案為 ．

（3）由題意可得==0，∴，=．
再由 ，可得=1．
再由，=-（） 可得 ==+2=2．
∴=4，
故答案為4．
分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)已知條件可得cos（+x）=，由sin2x=-cos（+2x），利用二倍角的余弦公式求出結(jié)果．
（2）作函數(shù)f（x）的圖象，分析函數(shù)的圖象得到函數(shù)的性質(zhì)，分類討論后，結(jié)合方程在a取某一確定值時(shí)所求得的所有解的和記為S，即可得到答案．
（3）由條件求得 ，=1，再由得 ==+2=2，即可求得值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，函數(shù)的圖象及性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，數(shù)量積公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．