Question

3．已知定義域為R的奇函數f（x），當x＞0時，f（x）=x²-3．
（1）求函數f（x）在R上的解析式；
（2）求不等式f（x）＞2x的解集．

Answer 1

分析 （1）利用定義域為R的奇函數f（x），當x＞0時，f（x）=x²-3．可求x＜0時的解析式．
（2）根據f（x）是分段函數，分別求解不等式的解集．

解答 解：（1）定義域為R的奇函數f（x），即f（-x）=-f（x），f（0）=0；
當x＜0時，-x＞0，
∵當x＞0時，f（x）=x²-3，
∴f（-x）=（-x）²-3=x²-3
∵f（x）是定義域為R的奇函數，
∴f（-x）=-f（x），
即f（x）=-f（-x）=-x²+3（x＜0）；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-3，x＞0\\ 0，x=0\\-{x^2}+3，x＜0.\end{array}\right.$
（2）當x＞0時，f（x）=x²-3．
那么：f（x）＞2x，即x²-3＞2x，
解得：x＞3．
當x＜0時，f（x）=-x²+3．
那么：f（x）＞2x，即-x²+3＞2x，
解得：0＞x＞-3．
綜上可得不等式f（x）＞2x的解集為（-3，0）∪（3，+∞）．

點評 本題考查了分段函數的解析式的求法和不等式的運用求解集問題．屬于基礎題．