Question

（2012•楊浦區(qū)二模）函數(shù)y=

1

1-x

的圖象與函數(shù)y=2sinπx（-2≤x≤4）的橫坐標(biāo)之和等于

8

．

Answer 1

分析：y₁=

1

1-x

的圖象由奇函數(shù)y=-

1

x

的圖象向右平移1個(gè)單位而得，所以它的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）中心對稱，再由正弦函數(shù)圖象的對稱中心公式，可得函數(shù)y₂=2sinπx的圖象的一個(gè)對稱中心也是點(diǎn)（1，0），故交點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，且每對對稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2．由此不難得到正確答案．

解答：解：設(shè)函數(shù)y₁=

1

1-x

，y₂=2sinπx（-2≤x≤4）
可得兩個(gè)函數(shù)的圖象有公共的對稱中心（1，0），
作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如右圖
當(dāng)1＜x≤4時(shí)，在區(qū)間（-2，

1

2

）上滿足0＜y₁＜2
而函數(shù)y₂在（-2，1）上出現(xiàn)1.5個(gè)周期的圖象，
在（-2，-

3

2

）和（-

1

2

，

1

2

）上是增函數(shù)；在（-

3

2

，-

1

2

）和（

1

2

，1）上是減函數(shù)，且y₂≤2．
∴函數(shù)y₂在（-2，1）上函數(shù)值為正數(shù)時(shí)，與y₁的圖象有四
交點(diǎn)A、B、C、D
相應(yīng)地，y₂在（1，4）上函數(shù)值為負(fù)數(shù)時(shí)，與y₁的圖象有四個(gè)交點(diǎn)E、F、G、H
且：x_A+x_H=x_B+x_G═x_C+x_F=x_D+x_E=2，故所求的橫坐標(biāo)之和為8
故答案為：8

點(diǎn)評：本題給出分式函數(shù)和三角函數(shù)，求兩函數(shù)圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足的關(guān)系式．發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖象公共的對稱中心是解決本題的入口，討論函數(shù)y₂=2sinπx的單調(diào)性找出區(qū)間（-2，

1

2

）上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是本題的難點(diǎn)所在．