Question

4．為了分流地鐵高峰的壓力，某市發(fā)改委通過聽眾會，決定實施低峰優(yōu)惠票價制度．不超過22公里的地鐵票價如下表：

乘坐里程x（單位：km）	0＜x≤6	6＜x≤12	12＜x≤22
票價（單位：元）	3	4	5

現(xiàn)有甲、乙兩位乘客，他們乘坐的里程都不超過22公里．已知甲、乙乘車不超過6公里的概率分別為$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$，甲、乙乘車超過6公里且不超過12公里的概率分別為$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求甲、乙兩人所付乘車費(fèi)用不相同的概率；
（Ⅱ）設(shè)甲、乙兩人所付乘車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出甲、乙乘車超過12公里且不超過22公里的概率分別為$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$，求出甲、乙兩人所付乘車費(fèi)用相同的概率，即可求解甲、乙兩人所付乘車費(fèi)用不相同的概率．
（Ⅱ）求出ξ=6，7，8，9，10，求出概率，得到ξ的分布列，然后求解期望即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題意可知，甲、乙乘車超過12公里且不超過22公里的概率分別為$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$
則甲、乙兩人所付乘車費(fèi)用相同的概率${P_1}=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{4}×\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$…（2分）
所以甲、乙兩人所付乘車費(fèi)用不相同的概率$P=1-{P_1}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$…（4分）
（Ⅱ）由題意可知，ξ=6，7，8，9，10
則$P（ξ=6）=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}=\frac{1}{12}$$P（ξ=7）=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{4}$$P（ξ=8）=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}+\frac{1}{4}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$P（ξ=9）=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{4}×\frac{1}{3}=\frac{1}{4}$$P（ξ=10）=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}=\frac{1}{12}$…（10分）
所以ξ的分布列為

ξ	6	7	8	9	10
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{12}$

則$E（ξ）=6×\frac{1}{12}+7×\frac{1}{4}+8×\frac{1}{3}+9×\frac{1}{4}+10×\frac{1}{12}=8$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列期望的求法，考查計算能力．