.(本小題滿分12分)
已知函數(shù),是常數(shù))在x=e處的切線方程為,既是函數(shù)的零點(diǎn),又是它的極值點(diǎn).
(1)求常數(shù)a,b,c的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間(1,3)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,并證明:
(1) ,, (2) (3) , 證明:當(dāng)時(shí), 即對(duì)一切都成立,亦即對(duì)一切都成立, 所以,,,…, 所以有,
所以.
【解析】
試題分析:(1)由知,的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040510470307813672/SYS201304051047506875969526_DA.files/image019.png">,,
又在處的切線方程為,所以有
,①
由是函數(shù)的零點(diǎn),得,②
由是函數(shù)的極值點(diǎn),得,③
由①②③,得,,.
(2)由(1)知,
因此,,所以
.
要使函數(shù)在內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),則函數(shù)在內(nèi)一定有極值,而
,所以函數(shù)最多有兩個(gè)極值.
令.
(。┊(dāng)函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)極值時(shí),在內(nèi)有且僅有一個(gè)根,即
在內(nèi)有且僅有一個(gè)根,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040510470307813672/SYS201304051047506875969526_DA.files/image036.png">,當(dāng) ,即時(shí),在內(nèi)有且僅有一個(gè)根
,當(dāng)時(shí),應(yīng)有,即,解得,所 以有.
(ⅱ)當(dāng)函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)極值時(shí),在內(nèi)有兩個(gè)根,即二次函
數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)不等根,所以
解得.
綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是.
(3)由,得,
令,得,即的單調(diào)遞減區(qū)間為.
由函數(shù)在上單調(diào)遞減可知,
當(dāng)時(shí), ,即,
亦即對(duì)一切都成立,
亦即對(duì)一切都成立,
所以,
,
,
…
,
所以有,
所以.
考點(diǎn):函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性求極值
點(diǎn)評(píng):本題第一問題型基礎(chǔ)簡單,第二問需要分情況討論,對(duì)學(xué)生有一定的難度,第三問需要借助于單調(diào)性求出最值進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立的不等式,難度大
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
ON |
ON |
5 |
OM |
OT |
M1M |
N1N |
OP |
OA |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(2009湖南卷文)(本小題滿分12分)
為拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長,某市決定新建一批重點(diǎn)工程,分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類,這三類工程所含項(xiàng)目的個(gè)數(shù)分別占總數(shù)的、、.現(xiàn)有3名工人獨(dú)立地從中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè).求:
(I)他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II)至少有1人選擇的項(xiàng)目屬于民生工程的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分12分)
某民營企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查和預(yù)測(cè),A產(chǎn)品的利潤與投資成正比,其關(guān)系如圖1,B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖2,
(注:利潤與投資單位是萬元)
(1)分別將A,B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù),并寫出它們的函數(shù)關(guān)系式.(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金,并全部投入到A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),問:怎樣分配這10萬元投資,才能使企業(yè)獲得最大利潤,其最大利潤為多少萬元.
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