Question

函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)減函數(shù)，且滿足條件f（2）=1．且f（xy）=f（x）+f（y）；
（1）證明：f（1）=0；
（2）若f（x）+f（x-3）≥2成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的恒等式，對x與y進(jìn)行賦值，令x=y=1，代入即可求得f（1）的值；
（2）根據(jù)恒等式將f（x）+f（x-3）≥2，等價轉(zhuǎn)化為f（x²-3x）≥f（4），再利用函數(shù)的單調(diào)性，去掉“f”，列出關(guān)于x的不等式，求解即可得到x的取值范圍．

解答：（1）證明：∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1，則f（1×1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0；
（2）解：∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=2，則f（2×2）=f（2）+f（2）=2f（2），
∵f（2）=1，
∴f（4）=2，
∵f（x）+f（x-3）≥2，且f（xy）=f（x）+f（y），
∴f[x（x-3）]≥2，即f[x（x-3）]≥2=f（4），
∴f（x²-3x）≥f（4），
∵函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)減函數(shù)，
∴x²-3x≤4，x＞0且x-3＞0，
解得3＜x≤4，
∴f（x）+f（x-3）≥2成立的x的取值范圍是3＜x≤4．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用賦值法求解抽象函數(shù)的函數(shù)值，及利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，屬于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)把抽象不等式化為具體不等式．屬于中檔題．