Question

【題目】圓：（）過(guò)點(diǎn)，離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別為，，且過(guò)焦點(diǎn)的直線交橢圓于，.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線與直線的斜率分別為，試證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）證明見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）由橢圓過(guò)點(diǎn)以及離心率為，結(jié)合，列方程組求解，即可得橢圓方程；

（Ⅱ）方法一：先考慮直線斜率不存在的情況，再考慮斜率存在的情況，對(duì)于斜率存在的情況，設(shè)直線：，與橢圓交點(diǎn)，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去并整理，利用判別式及韋達(dá)定理，從而可表示出，然后化簡(jiǎn)求解即可；

方法二：先考慮直線斜率為0的情況，再考慮直線斜率不為0時(shí)，對(duì)于斜率不為0的情況，設(shè)直線，后續(xù)過(guò)程同方法一.

（Ⅰ）橢圓：（）過(guò)點(diǎn)，

.①

又橢圓離心率為，

，

.②

聯(lián)立①②得，解得，

橢圓的方程為.

（Ⅱ）方法一：

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，

則，

；

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，

設(shè)直線：，與橢圓交點(diǎn)，.

聯(lián)立，

消去并整理得.

由于，

，，

，

，

.

綜上所述，.

方法二：

當(dāng)直線斜率為0時(shí)，

，則；

當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，

設(shè)直線： 設(shè)與橢圓交點(diǎn)，，

聯(lián)立，

消去并整理得.

由于，

，，

.

，

綜上所述，.