Question

【題目】【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，兩神坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度單位相同．已知曲線的極坐標(biāo)方程為， ．

（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）在曲線上求一點(diǎn)，使它到直線： （為參數(shù)）的距離最短，寫出點(diǎn)的直角坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化公式進(jìn)行求解；（Ⅱ）消參得到直線的直角坐標(biāo)方程，確定最優(yōu)解，利用直線的斜率公式和兩條直線垂直進(jìn)行求解.

試題解析:（Ⅰ）由， ，可得

∴曲線的直角坐標(biāo)方程為

（Ⅱ）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去得的普通方程為， 與相離，設(shè)點(diǎn)，且點(diǎn)到直線： 的距離最短，

則曲線在點(diǎn)處的切線與直線： 平行，

∴，又

∴（舍）或，∴

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.