如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1（即底面為正方形的直四棱柱）中，AA1=2AB=4，點(diǎn) E 在 CC1 上且 C1E=3EC．
（1）證明：A1C丄平面BED；
（2）求直線A1C與平面A1DE所成角的正弦值．

（1）證明：如圖，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A1（2，0，4），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，2，1）
∴，，，
∵，
，
∴，，
∴A1C丄平面BED．
（2）解：∵，，
設(shè)平面A1DE的法向量為，
∵，，
∴，
取，=（-2，2，-4），
設(shè)直線A1C與平面A1DE所成角為θ，
則sinθ=|cos＜，＞|=||=，
∴直線A1C與平面A1DE所成角的正弦值為．
分析：（1）以DA為x軸，以DC為y軸，以DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，由向量法能夠證明A1C丄平面BED．
（2）由，，求出平面A1DE的法向量，取=（-2，2，-4），
設(shè)直線A1C與平面A1DE所成角為θ，由sinθ=|cos＜，＞|能求出直線A1C與平面A1DE所成角的正弦值．
點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明和求直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，合理地建立空間直角坐標(biāo)系，注意向量法的靈活運(yùn)用．
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