Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1

4

x2+bx-

3

4

．若對(duì)任意實(shí)數(shù)α，β，不等式f（cosα）≤0，f（2-sinβ）≥0恒成立，則b=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：結(jié)合三角函數(shù)的值域，及已知條件，可得f(x)=

1

4

x2+bx-

3

4

≤0在[-1，1]上恒成立且f(x)=

1

4

x2+bx-

3

4

≥0在[1，3]上恒成立，進(jìn)而可得f（1）=0，進(jìn)而得到答案．

解答： 解：∵cosα∈[-1，1]，2-sinβ∈[1，3]
且f（cosα）≤0，f（2-sinβ）≥0恒成立，
故f(x)=

1

4

x2+bx-

3

4

≤0在[-1，1]上恒成立且f(x)=

1

4

x2+bx-

3

4

≥0在[1，3]上恒成立，
∴f(1)=

1

4

+b-

3

4

=0
故b=

1

2

，
故答案為：

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中根據(jù)已知分析出f（1）=0，是解答的關(guān)鍵．